Allmänna konjugatregeln

Skriven av Johan Asplund
Senast uppdaterad söndag, 24 juli 2011 13:07

Liksom det finns en allmän formel för att utveckla \nor (a+b)^n som heter binomialsatsen, finns det en allmän konjugatregel. Den är nära besläktad med binomialsatsen och är något enklare. Den ser ut som följande

a^n-b^n = (a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k}\cd b^k \ .

Om man inte är bekant med summasymbolen (\nor \sum) går den att läsa om här.


Mönstret

Vi har lärt oss att

\nor a^2-b^2 = (a-b)(a+b),

och i formelsamlingen man får använda vid nationella prov finns även följande identitet

\nor a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \ .

Med tanke på att jag påstår att den är nära besläktad med binomialsatsen kan vi nog utskilja ett mönster. Exponenten för \nor a sjunker med ett samtidigt som exponenten för \nor b ökar med ett. Samtliga koefficienter före termerna är 1. Vi kan ganska snabbt lista ut att

\nor a^4-b^4 = (a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3) \ .

Den allmänna konjugatregeln är då alltså

\nor a^n-b^n = (a-b)\(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+ab^{n-2}+b^{n-1}\) \ .


Övning


Övningsuppgift
Utveckla \nor a^6-b^6 \ .
Svar
\nor a^6-b^6 = (a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5)