Naturvetenskap.org varje månad donerar 10 % av sina annonsintäkter till välgörenhet?

Differentialekvationer

: Skriven av Johan Asplund

Senast uppdaterad söndag, 24 juli 2011 13:07

Differentialekvation är en ekvation som beskriver ett samband mellan en funktion och dess derivator. Några exempel på differentialekvationer är

$\nor y^\pri+2y = 0$
$\nor y^{\pri \pri}+4y^\pri+2y = 4x^2$
$\nor y^\pri+y^2 = x+3$

Den första är en linjär homogen differentialekvation av första ordningen.
Den andra är en linjär inhomogen differentialekvation av andra ordningen.
Den tredje är en icke-linjär inhomogen differentialekvation av första ordningen.

Ordningen av en differentialekvation

Det som bestämmer av vilken ordning en differentialekvation är dess högst förekommande derivata. Till exempel så är $\nor x^3+4x^2+4 = 0$ en tredjegradsekvation. På samma sätt är $\nor y^{\pri \pri \pri}+4y^{\pri \pri}+4 = 0$ en differentialekvation av tredje ordningen.

Linjär eller icke-linjär?

En differentialekvation kan vara antingen linjär eller icke-linjär. Om uttrycket för $\nor y$ och dess derivator alla har exponenten 1, så är differentialekvationen linjär. I andra exemplet ovan,

$\nor y^{\pri \pri}+4y^\pri+2y = 4x^2,$

så är den linjär eftersom ingen $\nor y$ -term har en exponent som är större än 1. Att någon av $\nor x$ -termerna har en exponent större än 1 har ingen betydelse för linjäriteten för en differentialekvation. Det tredje exemplet ovan

$\nor y^\pri+y^2 = x+3$

är inte en linjär differentialekvation på grund av termen $\nor y^2$ .

Homogen eller inhomogen?

Det som avgör om en differentialekvation är homogen eller inte, är alla termer utom de som innehåller $\nor y$ eller någon av $\nor y$ :s derivator. Om man samlar alla termer som innehåller $\nor y$ och dess derivator i ett led, och det endra ledet är lika med 0, så är differentialekvationen homogen. Ett exempel på en homogen differentialekvation är

$\nor y^\pri+2y = 0 \ .$

Däremot är

$\nor y^\pri+2y - 1= 0$

inte en homogen differentialekvation eftersom termen −1 inte innehåller något $\nor y$ eller någon av $\nor y$ :s derivator. Det blir ännu tydligare om vi skriver

$\nor y^\pri+2y - 1= 0 \ \Leftr \ y^\pri+2y = 1 \ .$

Eftersom vi endast har termer som innehåller innehåller $\nor y$ och $\nor y$ :s derivator och det andra ledet inte är lika med 0, så är den inhomogen.

Fler exempel på inhomogena differentialekvationer:

$\nor y^\pri+y^{\pri \pri} = 4x$

$\nor y^{\pri} + y^2 = e^x$

$\nor y^{\pri} + y^{\pri \pri \pri} = \sin(e^{\cos(x)})$

Lösningen till en differentialekvation...

...kommer att tas upp i Matematik E. I Matematik D så fokuserar vi främst på att visa att en viss lösning verkligen löser en differentialekvation.

Exempel

Visa att

$\nor y = 4 \cd e^{2x}-2x-2$ är en lösning till $\nor y^\pri - 2y = 4x+2 \ .$
$\nor y = e^{-x}$\sin\(\sq{3}x$+\cos(\sq{3}x)\)$ löser differentialekationen $\nor y^{\pri \pri} +2y^\pri + 4y = 0 \ .$

Lösningar

1. Vi deriverar $\nor y$ , för att sedan sätta in $\nor y$ och $\nor y^\pri$ i differentialekvationen för att kunna kontrollera att det är en lösning.

$\nor y^\pri = 8e^{2x}-2,$

som ger

$\nor \te{VL} = 8e^{2x}-2 - 2(4 \cd e^{2x}-2x-2) = 8e^{2x}-2-8e^{2x}+4x+4 = 4x+2 = \ \te{HL} \ .$

Exempel 2 lämnas som övning åt läsaren. Man måste derivera med produktregeln här.

Matematik