Tangens och Cotangens, Introduktion

Visste du att naturvetenskap.org varje månad donerar 5% av sina annonsintäkter till välgörande ändamål?

Stöd Naturvetenskap.org

Skrivet av Jimi Brander

Tangens definieras som följande:

sincostriangle

$\tan v = \frac{\text{motst}\dot{a}\text{ende katet}}{\text{n}\ddot{a}\text{rliggande katet}} = \frac{b}{a} = \frac{\sin v}{\cos v}$

$\cot v = \frac{\text{n}\ddot{a}\text{rliggande katet} }{\text{motst}\dot{a}\text{ende katet}}{\} = \frac{a}{b} = \frac{\cos v}{\sin v}$

Tangens bör ni åtminstone kunna utantill. Cotangens är nyttig att kunna också, dock tas den inte så ofta upp i skolan. Men cotangens är lätt att komma ihåg, det är bara att byta plats på täljaren och nämnaren om ni tänker på definitionen av tangens. Efter att vi har gått igenom ett par exempel med tangens går vi vidare till hur $\tan v = \frac{\sin v}{\cos v}$ och $\cot v = \frac{\cos v}{\sin v}$ .

Exempel

(Glöm inte miniräknaren om ni skall följa exemplen och slå in beräkningarna själva)

Bestäm längden på x.

a. tan_triangel13_5 b. tan_triangel33

Lösning a:

I detta fall är vinkeln (13,5ô) och närliggande katet (25,0) känd, vi kallar den okända kateten för x.

$\tan v = \frac{\text{motst}\dot{a}\text{ende katet}}{\text{n}\ddot{a}\text{rliggande katet}}$

$\tan 13,5 = \frac{x}{25}$

$25 * \tan 13,5 = x$

$x = 25 * \tan 13,5$

$x = 6,001$

Svar: x är 6,0 l.e (längdenheter, eftersom ingen annan enhet var angiven i text eller bild så använder vi denna) (Denna går även att lösa med cotangens, se nedan för beskrivning för hur du använder miniräknaren och cotangens)

Lösning b:

Här är vinkeln (33ô) och närliggande katet (7) känd, den motstående kateten kallar vi för x. Du kan även lösa denna med tangens, men vi använder cotangens nu så att du lär dig mer om denna.

$\cot v = \frac{\text{n}\ddot{a}\text{rliggande katet} }{\text{motst}\dot{a}\text{ende katet}}{\} = \frac{a}{b} = \frac{\cos v}{\sin v}$

$\cot 33 = \frac{x}{7}$

$7 * \cot 33 = x$

$x = 7 * \cot 33$

$x = 10,779$

Svar: x är 10,8 l.e

(Det brukar inte finnas cotangens på miniräknare, men eftersom tan v = b/a och cot = a/b, så ser du att cot v = 1/tan v eftersom 1/(b/a) = a/b. Så om du till exempel vill veta vad cotangens är för vinkeln 78o, då knappar du in 1/tan(78) eller tan(78)^-1 istället för cotangens. OBS! Notera att tan^-1 knappen på miniräknaren inte är samma sak! Det är beteckningen för en annan funktion, arctangens, men den går vi igenom i en annan artikel.)

Exempel

En vacker sommardag får solen ett träd att kasta en 6 meter lång skugga. Vinkeln mellan skuggan och solens strålar är 51,5 grader. Hur högt är trädet?

Lösning:

Strålarna, trädet och skuggan bildar en rät triangel, vi kan använda trigonometri för att finna höjden.

Vinkeln är känd och är 51,5 grader.

Motstående katet, dvs. höjden, är okänd och är det vi söker, denna kallar vi x.

Närliggande katet, skuggan är 6 meter.

Definitionen av tangens lyder $\tan v = \frac{\text{motst}\dot{a}\text{ende katet}}{\text{n}\ddot{a}\text{rliggande katet}}$

Vi får alltså

$\tan 51,5 = \frac{x}{6}$

$6 * \tan 51,5 = x$

$x = 6 * \tan 51,5$

$x= 7,543$

Svar: Trädet är 7,5 meter högt

tan v = sin v / cos v och cot = cos v / sin v

En vidare förklaring på $\tan v = \frac{sin v}{\cos v}$ samt $\cot v = \frac{cos v}{\sin v}$ kan behövas så vi tar en titt på hur man kommer fram till detta.